Geboren 1954 im nord-elsässischen Mommenheim, kickte Léonard Specht in seinem Heimatdorf, bis er 1970 zu Racing Straßburg wechselte. Der Durchbruch gelang Specht 1974, als er für Racing in 31 Punktspielen in der ersten französischen Liga auflief. Er etablierte sich in den Folgejahren als Stammspieler in der Innenverteidigung und erreichte 1978 das UEFA-Pokal Achtelfinale, wo Racing gegen den MSV Duisburg ausschied. In dieser Spielzeit feierte er mit seinen Teamkollegen den einzigen französischen Meistertitel der Vereinsgeschichte. Als einer von wenigen Spielern absolvierte er alle 38 Ligaspiele und war somit die etatmäßige Nummer 4 in der Meistermannschaft.

Er wechselte 1982 zu Girondins Bordeaux, wo er bis 1987 in einer Mannschaft um Gernot Rohr und Jean Tigana drei weitere Meistertitel und zwei mal den Pokal gewann. Der 18-fache französische Nationalspieler kehrte 1987 nach Straßburg zurück, wo er noch zwei Jahre spielte und 1989 seine Karriere beendete. Bis 2016 belegte er Trainer- und administrative Posten im Verein.